Shopping würde ich Woodbury empfehlen. Aber am besten für 1 Tag ein Auto mieten. Das ist deutlich komfortabler als mit dem Bus hin. Ist halt 1 Stunde von Manhattan weg. Näher ist entweder Jersey Garden in Newark oder American Dream( dort aber glaub kaum Schnäppchen)
In allen in die entsprechende App schauen für Rabattaktionen.
Unbedingt Jersey Gardens nehmen, weil das in New Jersey liegt und somit die Sales Tax wegfällt! Außerdem ist es recht nah am Flughafen Newark (EWR), insofern ist die Busanbindung nach NY (Port Authority) für US-Verhältnisse gut.
Weggehviertel: Williamsburg, sehr schön ist auch die DUMBO-Gegend in Brooklyn. Wenn du einen halben Tag "frei" bekommst, dann man den LIC Brewery Trail.
Sehenswürdigkeiten: Persönliche Erfahrung mit Familie: Genau überlegen, was du sehen willst. Dann im Internet auf entsprechenden Website die ganzen "Sightseeing Passes" vergleichen und dann kaufen. Wenn du bei wenig Zeit sehr viel sehen willst, kaufe (bei manchen) ein Upgrade für Premium/Skip the Line.